En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como filosofía de la naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.

El siglo XIX El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.

Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.

Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.

Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre vio la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.

En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo.

Siglo XX y nuestros días Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación.

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

2. Paradoja de la flecha

 Paradoja de la flecha (espacio finitamente divisible y tiempo infinitamente divisible). Como el espacio es finitamente divisible la flecha en su movimiento ocupará el lugar que sigue en la dirección en que se mueve en un tiempo T. Como el tiempo es infinitamente divisible entonces existirá un tiempo T' < T, durante el cual la fecha desapareció porque no existía un lugar que pudiera ocupar en ese tiempo. Por lo tanto, como el movimiento existe no podemos asumir que el espacio es finitamente divisible y el tiempo infinitamente indivisible.  

3.Paradoja de la dicotomia

 Paradoja de la dicotomía (espacio infinitamente divisible y tiempo finitamente divisible). En este caso se tiene la situación dual de la anterior: Si un móvil parte de un lugar hipotético A en el instante T, como el tiempo es finitamente divisible habrá un instante siguiente T' en el cual el móvil ocupará un lugar B. Como el espacio es infinitamente divisible existirá un lugar C entre A y B por el cual tuvo que pasar el móvil; pero esto no se dio porque no hubo tiempo para que sucediera. Nuevamente como el movimiento existe no podemos asumir que el espacio es infinitamente divisible y el tiempo finitamente divisible.

 4.Paradoja del estadio

4. Paradoja del estadio (tiempo y espacio finitamente divisibles). Un atleta A se mueve en una carrera en una cierta dirección y otro atleta C se mueve en la misma dirección pero en sentido opuesto y con igual velocidad. Un tercer atleta B que permanece inmóvil describe el movimiento de A y C en la siguiente forma: En el tiempo mínimo T, A y C se desplazaron una distancia mínima D. Ahora bien, A y C describen el movimiento de B de la siguiente forma: B se desplazó en el tiempo mínimo T la distancia mínima D. A no puede entender el movimiento de C y C tampoco puede entender el movimiento de A, en efecto C respecto de A se mueve dos veces la distancia mínima D en el tiempo mínimo T, lo cual es absurdo, porque no hubo tiempo para recorrer la distancia D.